German 5

Über die spektrale Zerlegung der algebraischen Formen auf by Klaus Hoppe PDF

By Klaus Hoppe

ISBN-10: 3540055983

ISBN-13: 9783540055983

ISBN-10: 3642999964

ISBN-13: 9783642999963

Publication through Hoppe, Klaus

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H. es ist i:) X~=(~: mit I;Zl=E(') und I;Z2=O. Die Substitution mit X-+UX U = (~ ~JE U, liefert genau die simultane Substitution Za-+UoZa und X,-+UoX,. Danun lfT (A)' lfT (B) = det (A;B,) gilt, folgt (4) unmittelbar. n-r) so gewahlt, daB a=lfr(A) =iJ (A,) gilt. Dann ist 0 = a' a = det (A;A,) gleichbedeutend damit, daB der Rang von A;A, nicht maximal ist. 2 eine orthogonale Matrix Uo und eine Matrix Vo mit det (Vo) = c- 1 =1= 0 derart, daB C,=UoArVo= (+! 1I-'-1) gilt. Sei wieder U die mit Uo gebildete Matrix aus Ur • Dann erhalt man aus (4) If, (A)' If, (X) =If, (U A)' lfr (UX) = C iJ (C r)' If, (UX).

Ol=D'(D'+ m-;-1 E). 0" die Gestalt (23) hat. 0"+1 bestimmen. 0" f(Y) ! )"+1 (X'L)-1 (L' XLI')' (X'L)-l (L' XLlh')' f (Y) = {( - ! o,,}f(Y). Dabei folgt die letzte Zeile aus der vorletzten aufgrund von (26). Ais nachstes formen wir den ersten Summanden der letzten Zeile urn: (- ~r+1 (X' L)-l LI(L' XLI"')' t(Y) = {If{+1 - ! 0,,) + (- ! )h+l (X' L)-l X' X ( 8~ Ll h)' L} f (Y). Aus (32) und (33) erhalten wir unter Berucksichtigung von (31) . oh) + ! oh) E). 5, daB der Operator YD'il" symmetrisch ist.

Die Formen v (X) aus H(m, n, k) sind die endlichen Summen v (X) = L det (A 'X)k mit det (A' A) = o. 5. Fur eine Eigenfunktion (X) von ffi aus F(m, n, k) ist v(X) :$ 0 mod det (X' X) (16) gleichwertig damit, da/3 v (X) in H(m, n, k) liegt. Beweis. Da det (X' X) . det (a~' a~) ein Operator aus ffi ist, liegt jede Eigenfunktion von ffi aus F(m, n, k), die der Be- 213 - K. Hoppe 36 dingung (16) genugt, in H(m, n, k). 4 jede harmonische Form in der Art (15) darstellen laBt, folgt (16) aus der Eindeutigkeit der zweiten Darstellung in Satz l' (fur r = 0).

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Über die spektrale Zerlegung der algebraischen Formen auf der Graßmann-Mannigfaltigkeit by Klaus Hoppe


by Jeff
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