German 5

Dieter Müller-Wichards's Transformationen und Signale PDF

By Dieter Müller-Wichards

ISBN-10: 3658011025

ISBN-13: 9783658011024

ISBN-10: 3658011033

ISBN-13: 9783658011031

Die Behandlung kontinuierlicher und diskreter Signale und die Beschreibung entsprechender zeitunabhängiger linearer Systeme in Regelungs-, Nachrichten- und Digitaltechnik erfordert eine Reihe von Transformationen, die in dem vorliegenden textual content bereitgestellt werden. Besonderer Wert wird auf die Darlegung der für die Anwendung wichtigen Zusammenhänge zwischen verschiedenen Transformationen gelegt. Dieses Buch ist als Begleittext einer einschlägigen Vorlesung für Studierende der Elektrotechnik, Technischen Informatik oder Technomathematik gedacht.

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2 Konvergenzsätze 19 Bei Konvergenz im quadratischen Mittel und bei punktweiser Konvergenz können lokal durchaus noch erhebliche ’Überschwinger’ vorkommen, Voraussetzung für die Konvergenz im quadratischen Mittel ist lediglich, dass die Fläche unter dem Betragsquadrat der Differenzfunktion mit n gegen Unendlich gegen Null geht. Das folgende Beispiel soll diese Aussage illustrieren. 1 Sei ⎧ 2+ 1 ⎨ n 2t 1 1 yn (t) = 2n 2 − n2+ 2 t ⎩ 0 eine Folge von Dachfunktionen mit Firsthöhe Nullfunktion, so erhält man für 0 ≤ t ≤ n12 für n12 ≤ t ≤ n22 für n22 ≤ t ≤ T √ n und Breite 2/n2 .

X, x = 1 T T 0 x(t)x(t)dt = 1 T T 0 |x(t)|2 dt ≥ 0 T 2. B. bis auf eine Menge, die aus endlich vielen Punkten besteht). 3. x, y = y, x 4. αx + βy, z = α x, z + β y, z für alle α, β C und alle über das Intervall [0, T ] quadratintegrablen Funktionen x(t), y(t), z(t) Aus 3. und 4. folgt offenbar x, λy = λy, x = λ y, x = λ y, x = λ x, y . Um die Tragweite der Aussage 2. zu verstehen, benötigen wir einen kleinen Ausflug in die Integrationstheorie. Man sagt, eine Teilmenge M eines Intervalls (a, b) ist vom Maß Null, wenn die zugehörige charakteristische Funktion von M : χM (t) = 1 0 für t M sonst b integrierbar und a χM (t)dt = 0 ist.

H. Summe u. Differenz solcher Funktionen ist wieder von beschränkter Schwankung. 6 Sei x(t) periodisch mit Periode T und aus endlich vielen monotonen Stücken auf [0, T ], sei t∗ ∈ [0, T ], und sei z(t) := x(t∗ +t)+x(t∗ −t) 2 x(t∗ +)+x(t∗ −) 2 für t = 0 für t = 0 dann gilt: 1. h. z(t) ist eine gerade Funktion. 2 Konvergenzsätze 25 2. z(t) ist stetig im Nullpunkt 3. z(t) ist von beschränkter Schwankung 4. zu jedem ε > 0 gibt es ein δ > 0 mit V[0,δ] (z) < ε Beweis: 1. Es ist z(−t) = x(t∗ −t)+x(t∗ +t) 2 = z(t) für t = 0.

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Transformationen und Signale by Dieter Müller-Wichards


by Paul
4.0

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