German 5

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By Wilhelm Specht (auth.)

ISBN-10: 3642946674

ISBN-13: 9783642946677

ISBN-10: 3642946682

ISBN-13: 9783642946684

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B. die volle imprimitive Permutationsgruppe, die aus allen Permutationen von M besteht, die das Schema in der vorgeschriebenen Weise auf sich abbilden. 5. ;. Normalteiler und Paktorgruppe 45 ubereinstimmen, bei geeigneter Zuordnung also die Gleichung UX, = 1'. U fur jedes lEI besteht. Da dann der Reprasentant 1'. durch X, ersetzt und jedes GE@ Reprasentant seiner Restklasse werden kann, gilt fur j edes G E @. Definition 2. E ine Untergruppe 91 einer Gruppe (91 normal in @ ist N ormalteiler: @), wenn fur jedes GE@ die Gleichung 91G = G91 besteht.

Die Anzahl der Elemente in der Klasse f (A), die Ordnung der Klasse, wird also durch den Index ind (@ :2 (A)) bestimmt; insbesondere gilt: Satz 31. In einer endlichen Gruppe @ ist die Ordnung feder A'hnlichkeitsklasse f (A) Teiler der Ordnung von @. Eine Gruppe @, deren Klassen f(A) samtlich endliche Ordnung besitzen, wollen wir als klassenfinit bezeichnen. J ede abelsche Gruppe m ist klassenfinit, da jede Klasse f(A) nur ein Element enthalt. In einer nichtabelschen Gruppe @ gibt es wenigstens eine Klasse f (A), die mehr als E'in Element enthalt, wahrend die Klassen f (Z) der Ordnung 1 das Zentrum 2 (@) der Gruppe ausmachen.

Die Untergruppen der Faktorgruppe @/m einer Gruppe @ nach ihrem Normalteiler gruppen m~u~@. msind die Faktorgruppen U/91 der Zwischen- Fur die Indizes besteht die Gleichung ind (@ : U) = ind (@/m : u/m) . Die Faktorgruppe u/m ist genau dann normal in @/m, wenn U normal ist. Zum Beweise ist noch nachzutragen: Unter den angegebenen Voraussetzungen zieht jede der Kongruenzen in @ Y mod U, E x und m X - my mod u/m, 1 fUr X, Y E® die andere nach sich. 1st U normal in ®, so besteht fur jedes U EU eine Gleichung UG= GU* mit U* E U fUr jedes G E@.

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Gruppentheorie by Wilhelm Specht (auth.)


by Christopher
4.2

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