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By Wilhelm Maak (auth.)

ISBN-10: 3642527973

ISBN-13: 9783642527975

ISBN-10: 3642527981

ISBN-13: 9783642527982

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ID I § 9. Existenz des Mittelwertes. Als Beispiel betrachten wir die additive Gruppe der reellen Zahlen. Dort sind die Funktionen ei Ax mit reellem A. beschrankte Darstellungen der Gruppe. Sie sind also fastperiodisch und mit ihnen (nach § 7 Satz 3, 4 und 5) auch aIle endlichen trigonometrischen Polynome I: (Xv eiAvx und samtIiche Funktionen, die sich durch solche Polynome gleichmaBig approximieren lassen. Spater werden wir sehen, daB dies aIle (stetigen) fastperiodischen Funktionen sind. 2 (XQa DQa(x) und aIle dieD Q,a = 1 jenigen Funktionen, die sich durch solche Sum men gleichmaBig approximieren lassen, fastperiodisch auf @.

Diese 'Oberdeckung von &2 ist eine Teilung ;r{J(a, y), e}. (a, c y d) - f(a, c y' d)\ < 13 . Satz 2. Es sei f(x, y) fastperiodisch auf @1 x &2' dann ist die Funktion Mx{J(x, y)} fastperiodisch auf@2 und My {J(x, y)} ist fastperiodisch auf @1' Ferner gilt fur den Mittelwert M x , ,,{J(x, y)} der Funktion j(x, y) auf @1X@2 (2) Mx,y {J(x, y)} = M~{M,,{J(x, y)}} = M,,{Mx{J(x, yJ}} " Beweis: Die Fastperiodizitat der einfachen Mittelwerte fnlgt (unter Benutzung der in § 11 aufgezahlten Eigenschaften des Mittelwertes) so fort aus Satz 1.

Urn die Eigenschaften der Norm und der Distanz herzuleiten, benotigen wir einen Hilfssatz, welcher der bekannten Schwarzschen Ungleichung entspricht. Satz 2. E s ist Mx {If(x)llg(x)l} ;;;,iNfNg Beweis: Aus folgt durch einfaches Anwenden der Mittelwertoperation (5) Ersetzt man lund g durch yI bzw. ~g, wobei y als reell und y >0 an- genommen werden kann, so ergibt sich aus (5) Mx{ If(x)llg(x)l} ;;;, - NI + - 2 N g. Da das fUr aIle y> 0 1'2 1 2 2y richtig ist, muB, wie behauptet M,,{IJ(x)llg(x)l} ;;;, unt.

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Fastperiodische Funktionen by Wilhelm Maak (auth.)


by Richard
4.5

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